這是這一陣子在 PTT TechJob 和 Math 版上吵得很兇的關於機率的話題。

【前言】

原始命題：

• 小明過年期間去拜訪許久沒見面的同學，聽說同學已經生了兩個小孩，進門後小明看到朋友其中一個小孩是男生，請問，另一個是男生的機率為多少？

老實說，我已經懶得再裝瘋賣傻說服認為是 1/3 的人了。

雖然 terrorlone 大已經在 Math 版 17833 篇用程式說明這個命題以及為何會有人得出三分一之的結論，但我想程式不是每個人都看得懂，所以我做了這個實驗。

希望這篇能夠幫助像我一樣，數學差到不行，對於機率的認識就僅止於【機率＝發生次數／樣本空間】和【所有情況的機率總合為 1】這個兩個原則，然後認為這個問題好像 1/2 也對，1/3 也說得通的朋友。

在這篇文章裡沒有任何除了上述兩個原則之外的算式，所以請數學和我一樣差的朋友也可以放心觀看。

裡面有的只有實驗設定與實驗步驟，以及每一次實驗的樣本與結果，所以唯一需要有的就是耐心，以及觀察力。

【三個命題】

首先，因為生小孩並沒有辦法實驗，所以我們轉換命題。

• 桌上有兩個用杯子蓋住的銅板，移開第一個杯子，發現是正面，則第二個杯子裡的銅板還是正面的機率是？

呃……因為我們數學不好，所以不會算，好像是二分之一，又好像是三分之一咧？是獨立事件嗎？還是條件機率？我只記得兩個的算法好像不一樣，可是也傻傻分不清楚要用什麼公式啊！orz...

不過沒關係，機率問題和其他數學問題不同而有趣的地方就在於我們大可以『做實驗驗證我們的猜想』。

但在實驗開始之前，你可以先想一下，以下這三個命題是不是等價。

• 桌上有兩個用杯子蓋住的銅板，移開第一個杯子，發現是正面，則第二個杯子裡的銅板還是正面的機率是？【命題Ａ】

• 桌上有兩個用杯子蓋住的銅板，隨機開某個杯子，發現是正面，則另一個杯子裡的銅板還是正面的機率是？【命題Ｂ】

• 桌上有兩個用杯子蓋住的銅板，在其中至少有一個是正面的情況下，另一個杯子裡的銅板還是正面的機率是？【命題Ｃ】

覺得很像三個問題是等價的對不對？那我們開始來做實驗驗證我們的猜想吧！

【命題Ａ的實驗】

實驗開始，實驗內容與結果可以在下面兩個網址下載，打開後請隨便在一個儲存格上打些字，就會更新實驗數據。

• OpenOffice Calc 檔
• Microsoft Excel 檔

在這個檔案中，第一個活頁標籤是原始的樣本空間，也就是在實驗開始前，每一個杯子裡的狀態。而在這個實驗中，我們有以下的命題與假設以及符號標計設定。

• 命題

• 桌上有兩個用杯子蓋住的銅板，移開第一個杯子，發現是正面，則第二個杯子裡的銅板還是正面的機率是？【命題Ａ】

• 假設

• 硬幣是公正的（Uniform 分佈），在只有『正』『反』的二元狀況下，有 50% 是正面，50% 是反面。

• 符號標記

• 0 代表硬幣反面

• 1 代表硬幣正面

實驗內容在第二張活頁標籤『實驗內容』裡面，實驗步驟如下。

1. 開啟第一個杯子，如果是反面，此次實驗失敗（因為不符合題目『打開第一個是正面』的情況），在 G 欄的地方打 X，代表實驗失敗，直接進行下一輪。

2. 若步驟 1 成功，在 G 欄的地方標 1，並且計數後開啟第二個杯子。在這邊成功進行實驗的次數總計在 G4。

3. 若第二個杯子是正面，符合命題，把 H 欄標成 1，計數，總次數在 H4。

4. 若第二個杯子是反面，符合反命題『第二個杯子是反面』，把 I 欄標 0，計算總共有幾次反面，總次數在 I4。

以上，第一個命題實驗結束，就結果來看，你會發現 H4 與 I4 的值接近。

不過既然是算機率嘛，總還是要有個答案出來，而且也要驗證我們的實驗有沒有錯漏，不然機率加起來不等於 1 就好笑了。

所以，以下是計算的部份，套用我們已知的兩個機率原則。

• 機率 ＝ 發生次數 ／ 樣本數
• 所有可能發生的情況機率相加為 1

以下計算開始。

1. 樣本數 ＝ 第一次開啟時是正面的次數 ＝ G4
2. 正命題發生次數 ＝ 第二個杯子也是正面的次數 ＝ H4
3. 正命題機率 ＝ 發生次數 H4 ／ 樣本數 G4 ＝ M20（請看實驗結果）
4. 反命題發生次數 ＝ 第二個杯子是反面的次數 ＝ I4
5. 反命題機率 ＝ 發生次數 I4 ／ 樣本數 G4 ＝ M22（請看實驗結果）
6. 正命題機率 M20 + 反命題機率 M22 ＝ M23

請對照實驗檔案，你會發現不論樣本空間的硬幣如何分佈，M20 和 M22 都會接近 0.5，而 M23 會逼進於 1。

第一個【命題Ａ】的實驗，答案是 0.5。

【命題Ｂ的實驗】

對對對，我知道，你會說我會得到 0.5，是因為我先開第一個杯子的問題，如果我是隨便開第一個或第二個杯子，那麼答案一定會不一樣！

來吧！因為我們的命題改變了，所以重新做實驗唄！實驗的檔案如下。

• OpenOffice Calc 檔
• Microsoft Excel 檔

這次的假設比較複雜一點，這是因為我們需要記錄實驗內容，所以必需用不同的方式達成同樣的命題。

簡單的來講，我們達成『隨機開第一個或第二個杯子』的方式，是先以夠亂並且公正的亂數，隨機調換兩個杯子內的硬幣。

換而言之，當調換完成後，我們打開第一個杯子時，有可能開到的是原始樣本空間內的第一個杯子的硬幣，但也很有可能是原始樣本空間內第二個杯子的硬幣。

以下是這次實驗的命題與假設。

• 命題

• 桌上有兩個用杯子蓋住的銅板，隨機開某個杯子，發現是正面，則另一個杯子裡的銅板還是正面的機率是？【命題Ｂ】

• 假設

• 我不知道第一次開的是第一個杯子或是第二個杯子。

• 當杯子內容隨機互換後，符合上述假設，亦即我是隨機開啟第一個杯子或第二個杯子。所以此時我已經不知道我是看到哪一個硬幣。

• 互換是公正的（Uniform 分佈），在只有『換』與『不換』的二元情況下，有 50% 會換，50% 不會換。

• 硬幣是公正的（Uniform 分佈），在只有『正』『反』的二元狀況下，有 50% 是正面，50% 是反面。

• 符號標記

• 0 代表硬幣反面

• 1 代表硬幣正面
• 0 代表不換
• 1 代表換

首先，在正式打開硬幣之前，我們先用以下的方式進行隨機掉換洗牌的動作，經過洗牌過後的杯子的情況，在第二個活頁標籤『隨機掉換順序』裡面。

1. 先以亂數決定是否調換 ＝ B欄

2. 如果 B 欄為 1（換），原始樣本空間 C、D 欄互換

接著進行正式的實驗，過程與記錄在第三個活頁標籤『實驗內容』中，整個實驗的步驟如下。

1. 開啟第一個杯子，如果是反面，此次實驗失敗（因為不符合題目『打開第一個是正面』的情況），在 G 欄的地方打 X，代表實驗失敗，直接進行下一輪。

2. 若步驟 1 成功，在 G 欄的地方標 1，並且計數後開啟第二個杯子。在這邊成功進行實驗的次數總計在 G4。

3. 若第二個杯子是正面，符合命題，把 H 欄標成 1，計數，總次數在 H4。

4. 若第二個杯子是反面，符合反命題『第二個杯子是反面』，把 I 欄標 0，計算總共有幾次反面，總次數在 I4。

接著觀察 H4 與 I4，好像也很接近。為了驗證我們的想法和實驗，用機率的概念來試著計算看看唄！

套用我們已知的兩個機率原則。

• 機率 ＝ 發生次數 ／ 樣本數
• 所有可能發生的情況機率相加為 1

以下計算開始。

1. 樣本數 ＝ 第一次開啟時是正面的次數 ＝ G4
2. 正命題發生次數 ＝ 第二個杯子也是正面的次數 ＝ H4
3. 正命題機率 ＝ 發生次數 H4 ／ 樣本數 G4 ＝ M20（請看實驗結果）
4. 反命題發生次數 ＝ 第二個杯子是反面的次數 ＝ I4
5. 反命題機率 ＝ 發生次數 I4 ／ 樣本數 G4 ＝ M22（請看實驗結果）
6. 正命題機率 M20 + 反命題機率 M22 ＝ M23

請對照實驗檔案，你會發現不論樣本空間的硬幣如何分佈，M20 和 M22 都會接近 0.5，而 M23 會逼進於 1。

啥？怎麼算起來好像和【命題Ａ】的答案一樣啊？？是的，其實不論你先開哪個杯子，機率還是 0.5 的，除非我隨機掉換的假設是錯的（說實話，這邊我真的沒把握我隨機掉換的做法是對並且符合學理的）。

【命題Ｃ的實驗】

哇咧咧！我不相信，我一定要實驗出 1/3 這個數字才甘心，畢竟這麼多人說是 1/3，一定有他的道理在！佛說我不入地獄誰入地獄，既然堅持是 1/3 的朋有沒有人願意做實驗，那就我來做吧，哇哈哈～～～

• OpenOffice Calc 檔
• Microsoft Excel 檔

同樣的，來看這次的命題與假設。首先，為了避免又有人在盧是啥開啟順序的關係，所以我們用【命題Ｂ】的方式，在正式實驗前，先將杯子亂數洗牌，讓我們是隨機開啟杯子一或是杯子二。

• 命題

• 桌上有兩個用杯子蓋住的銅板，在其中至少有一個是正面的情況下，另一個杯子裡的銅板還是正面的機率是？【命題Ｃ】

• 假設

• 我不知道第一次開的是第一個杯子或是第二個杯子。

• 當杯子內容隨機互換後，符合上述假設，亦即我是隨機開啟第一個杯子或第二個杯子。所以此時我已經不知道我是看到哪一個硬幣。

• 互換是公正的（Uniform 分佈），在只有『換』與『不換』的二元情況下，有 50% 會換，50% 不會換。

• 硬幣是公正的（Uniform 分佈），在只有『正』『反』的二元狀況下，有 50% 是正面，50% 是反面。

• 符號標記

• 0 代表硬幣反面

• 1 代表硬幣正面
• 0 代表不換
• 1 代表換
• 0 代表兩者都為反面
• 1 代表兩者至少有一個是正面

首先，我們用以下的動作進行亂數洗牌，洗牌過後的結果，位於第二張活頁標籤『隨機掉換順序』中。

1. 先以亂數決定是否調換 ＝ B欄

2. 如果 B 欄為 1（換），原始樣本空間 C、D 欄互換

接著，正式開始做實驗，實驗過程與記錄在第三張活頁標籤『實驗內容』裡面記錄得很清楚，實驗步驟如下。

1. 開啟第一個杯子，如果是正面，打開第二個杯子。

2. 如果是反面，因為我們不確定『至少有一個是正面』的正面是不是出現在第二個杯子，所以也要打開第二個杯子，看裡面是不是正面。

3. 如果第一個杯子或第二個杯子其中有一個是正面，符合題目描述的『至少有一個是正面』的前提，把 J 欄標 1，並將其加總至 J4。

4. 若第一個杯子是正面，第二個杯子也是正面，此情形符合命題，將 H 欄標為 1，並於 H4 加總此狀況的次數。

5. 若第一個杯子是正面，但第二個杯子卻是反面，符合反命題，我們將 I 欄標成 1，並且於 I4 加總發生這個狀況的次數。

6. 若第一個杯子是反面，但第二個杯子卻是正面，同樣符合『至少有一個是正面』的先決件，是此題的反命題，所以我們將 K 欄標 1，並於 K4 計算發生這種狀況的次數。

接著，觀察實驗結果，你會發現 H4、I4 以及 K4 非常接近。

接下來，復習機率的基礎原則。

• 機率 ＝ 發生次數 ／ 樣本數
• 所有可能發生的情況機率相加為 1

復習完了，就來計算機率唄！

1. 樣本數 ＝ 至少有一個是正面的狀況 ＝ J4
2. 正命題發生次數 ＝ 第一個杯子是正面的情況下，第二個杯子也是正面 ＝ H4
3. 正命題機率 ＝ 發生次數 H4 ／ 樣本數 J4 ＝ N21
4. 反命題（一）發生次數 ＝ 第一個杯子是正面，但第二個杯子是反面 ＝ I4
5. 反命題（一）機率 ＝ 發生次數 I4 ／ 樣本數 J4 ＝ N23
6. 反命題（二）發生次數 ＝ 第一個杯子是反面，但第二個杯子是正面 ＝ K4
7. 反命題（二）機率 ＝ 發生次數 K4／樣本數 J4 ＝ N25
8. 正命題機率 N21 + 反命題（一）機率 N23 + 反命題（二）機率 N25 ＝ N26

仔細觀察 N21、N23 和 N25，你會發現大致上都接近 0.3333，而 N21 + N23+ N25 會逼進於 1。

是的，我們終於得出 1/3 的答案了！

【結論】

我數學很差，不過我知道如何做實驗，經過了以上的實驗，我們可以發現以下非常簡單明瞭的事實。

• 從結論來看【命題Ａ、Ｂ】兩者與【命題Ｃ】是不等價的！

• 從實驗的方式和過程來看，『翻開後發現其中一個硬幣是正面』和『在已知其中至少有一個是正面的狀況下』也是不等價的敘述的！

發現問題所在了嗎？【命題Ａ、Ｂ】在我們描述『第一次翻開來為正面』的時候，就已經把樣本空間縮小為『正反』與『正正』兩種了。（因為可以從題目敘述中推論出在一正一反的狀況下，保證正面一定會在第一次被翻出來）

但在【命題Ｃ】的時候，在『已知至少有一個是正面』的描述時，樣本空間卻包含了『正反』、『正正』、『反正』三種。是的，多了一個『反正』的組合出來！（因為我們不能從題目敘述中推論出一正一反的情況下，正面一定在第一次被翻出來。）

所以拜托，兩者是完完全全不同的命題，就算數學再差，差到和我一樣機統二修才低空飛過的差，也不要把這兩個命題混在一起做撒尿牛丸好不好啊。XD